对数运算和幂指数运算是数学中非常重要的部分，它们之间有着紧密的联系。以下是10个关于对数运算和幂指数运算法则的公式：

1. 对数的定义：
   如果 $a^x=N$（$a>0$，且 $a\ne 1$），那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x={\log }^{a}N$。

2. 对数的换底公式：
   ${\log }^{b}a=\genfrac{}{}{0ex}{}{{\log }^{c}a}{{\log }^{c}b}$ （其中 $c>0$，$c\ne 1$）。

3. 对数的乘法法则：
   ${\log }^a(MN)={\log }^{a}M+{\log }^{a}N$ （其中 $M>0$，$N>0$）。

4. 对数的除法法则：
   ${\log }^a\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{N}={\log }^{a}M-{\log }^{a}N$ （其中 $M>0$，$N>0$，$N\ne 1$）。

5. 对数的幂运算法则：
   ${\log }^a{M}^n=n{\log }^{a}M$ （其中 $M>0$，$n$ 为实数）。

6. 幂的乘法法则：
   $a^m\times a^n=a^{m+n}$ （其中 $a>0$）。

7. 幂的除法法则：
   $\genfrac{}{}{0ex}{}{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ （其中 $a>0$，$a\ne 1$）。

8. 幂的幂运算法则：
   $(a^m{)}^n=a^{mn}$ （其中 $a>0$）。

9. 幂的根运算法则：
   $a^{\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ （其中 $a>0$，$n$ 为正整数）。

10. 对数恒等式：
    ${\log }^{a}a=1$ （其中 $a>0$，$a\ne 1$）。

这些公式在解决对数和幂指数相关的问题时非常有用。通过灵活运用这些公式，可以简化复杂的数学表达式，从而更容易地找到问题的答案。